«Պի» թիՎ

ֆլեշմոբ

ֆլեշմոբ

Թվային ֆունկցիա

Սինուս և կոսինուս ֆունկցիաների հատկություններն ու գրաֆիկները

Տնային աշխատանք

թվի արկսինուսը, արկկոսինուսը, արկտանգենսը, արկկոտանգենսը

Պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում

• 

եթե 1}»> — հավասրման արմատ չունի չունի։

եթե  — հավասարման լուծումն ունի այսպիսի տեսք`

եթե 1}»> — Հավասարման արմատ չունի։

եթե  — հավասարման լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ 

• 

Հավասարման լուծումն է՝ 

Հավասարման լուծումն է՝

 y = arcsin x ֆունկցիայի հատկություններն ու գրաֆիկը

x թվի արկսինուս կոչվում է [−π2;π2] հատվածի այն թիվը, որի սինուսը x-ն է: 

y=arcsinx ֆունկցիայի հատկությունները

• 1. y=arcsinx ֆունկցիայի որոշման տիրույթը [−1;1] հատվածն է: 
• 2. y=arcsinx ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [−π2;π2] հատվածն է:  
• 3. y=arcsinx-ը աճող ֆունկցիա է:  
• 4. y=arcsinx ֆունկցիան կենտ է՝ arcsin(−x)=−arcsinx

y = arccos x ֆունկցիայի հատկություններն ու գրաֆիկը

x թվի արկկոսինուս կոչվում է [0;π] հատվածի այն թիվը, որի կոսինուսը x-ն է:

y=arccosx ֆունկցիայի հատկությունները

• 1. y=arccosx ֆունկցիայի որոշման տիրույթը [−1;1] հատվածն է:   
• 2. y=arccosx ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [0;π] հատվածն է: 
• 3. y=arccosx ֆունկցիան նվազող է: 
• 4. arccos(−x)=π−arccosx

Սինուս

1.  Սինուսի որոշման տիրույթն ամբողջ թվային առանցքն  է, իսկ արժեքների բազմությունը՝ [-1; 1] հատվածը՝ D(sin)=R և E(sin)=[-1; 1],
2. սինուսը կենտ և 2π-պարբերական ֆունկցիա է,
   sin x=0, երբ x=πk, k ∈ Z,
3. Քանի որ սինուսը դրական է I և  II քառորդներում և բացասական՝ III և IV քառորդներում, հետևաբար՝
   sin x>0, երբ x ∈ (2πk; π+2πk), k ∈ Z,
   sin x<0, երբ x ∈ (π+2πk; 2π+2πk), k ∈ Z,
4. սինուսի մեծագույն արժեքը 1 է, ընդ որում,
   sin x=1, երբ x=π/2+2πk, k ∈ Z,
5. սինուսի փոքրագույն արժեքը -1 է, ընդ որում,
   sin x=-1, երբ x=-π/2+2πk, k ∈ Z:
6. սինուսն աճող է [-π/2+2πk; π/2+2πk], k ∈ Z, միջակայքերում,
7. սինուսը նվազող է [π/2+2πk; 3π/2+2πk], k ∈ Z, միջակայքերում:

Կոսինուս

1. կոսինուսի որոշման տիրույթն ամբողջ թվային առանցքն է, իսկ արժեքների բազմությունը՝ [-1; 1] հատվածը՝
   D(cos)=R, E(cos)=[-1; 1],
2. կոսինուսը զույգ և 2π-պարբերական ֆունկցիա է,
3. cos x=0, երբ x=π/2+πk, k ∈ Z,
4. cos x>0, երբ x ∈ (-π/2+2πk; π/2+2πk), k ∈ Z,
   cos x<0, երբ x ∈ (π/2+2πk; 3π/2+2πk), k ∈ Z,
5. կոսինուսի մեծագույն արժեքը 1 է, ընդ որում,
   cos x=1, երբ x=2πk, k ∈ Z,
6. կոսինուսի փոքրագույն արժեքը -1 է, ընդ որում,
   cos x=-1, երբ x=π+2πk, k ∈ Z,
7. կոսինուսն աճող է [-π+2πk; 2πk], k ∈ Z, միջակայքերում,
8. կոսինուսը նվազող է [2πk; π+2πk], k ∈ Z, միջակայքերում:

1. Մտքումս մի թիվ եմ պահել, Եթե այդ թվին ավելացնեմ նրա կրկնապատիկը, այնուհետև փոքրացնեմ 11-ով, ապա կստանամ 7: Ո՞ր թիվն եմ մտապահել։

x+2x-11=7 3x=18 x=6

Պատ․6

2. Ինչպե՞ս կփոխվի գումարը, եթե գումարելիներից մեկը մեծացնենք 3-ով, իսկ մյուսը փոքրացնենք 6-ով։

Պատ․կփոքրանա 3-ով

3. Գտնելով օրինաչափությունը, լրացրո՛ւ դատարկ վանդակը։

66-26=40 82-22=60 77-27=50

Պատ․50

4. 3 որմնադիր 3 մետր պատը շարում են 3 ժամում։ Քանի՞ որմնադիր կարող է 7 ժամում 7 մետր պատ շարել։ Պատ․7

5. Տրված CD հատվածի վրա N և M կետերն նշված են այնպես, որ CD=13սմ, ND=10սմ, CM=7սմ։ Գտի՛ր NM հատվածի երկարությունը։ Պատ․4 սմ

6. 3, 4, 5, 6 թվանշաններից յուրաքանչյուրը մեկական անգամ օգտագործելով՝ կազմիր 4-ի բաժանվող հնարավոր ամենամեծ քառանիշ թիվը։

Պատ․5436

7. Երեք հաջորդական զույգ թվերի գումարը 48 է։ Գտի՛ր այդ թվերից ամենամեծը։

Պատ․18

8. 2 վարդն ու 1 մեխակն արժեն 250 դրամ, իսկ 3 վարդն ու 2 մեխակը՝ 400 դրամ։ Գտի՛ր յուրաքանչյուր ծաղիկի արժեքը։

Պատ․ 1 վարդ- 100 դրամ,1 մեխակ -50 դրամ

9. Ի՞նչ թվանշանով է վերջանում բոլոր երկնիշ զույգ թվերի արտադրյալի և բոլոր երկնիշ կենտ թվերի արտադրյալի գումարը:

10. Առաջին խողովակով 1 ժամում ջրավազան է լցվում 24լ ջուր, իսկ երկրորդ խողովակով՝ 42լ։ Երկու խողովակի համատեղգործելու դեպքում, դատարկ ջրավազանը լցվումէ 25 ժամում։ Սկզբում բացեցին միայն երկրորդ խողովակը: 29 ժամ հետո այն փակեցին և բացեցին առաջին խողովակը: Դրանից քանի՞ ժամ հետո լցվեց ամբողջ ջրավազանը: Պատ․18 ժ

«Ֆունկցիա» տերմինն առաջին անգամ 1692 թվականին առաջարկել է գերմանացի փիլիսոփա և մաթեմատիկոս Վիլհելմ Լայբնիցը՝ որոշակի կորի կետերը միացնող տարբեր հատվածները բնութագրելու համար։Սկզբում ֆունկցիա հասկացությունն օգտագործվում էր շատ նեղ իմաստով, ասոցացվում էր միայն երկրաչափական պատկերների հետ։Խոսքը կորերի շոշափումների հատվածների, կոորդինատների առանցքների և այլ գծերի վրա դրանց կանխատեսումների մասին էր, որոնք որոշակի ֆունկցիա են կատարում տվյալ պատկերի համար։ Այսպիսով, այն ժամանակ ֆունկցիա հասկացությունը դեռ չէր ազատվել երկրաչափական ձևից։ ֆունկցիայի ընդհանուր սահմանումը (ժամանակակից ձևով, բայց միայն թվային ֆունկցիաների համար) տրվել է Լոբաչևսկու (1834) և Դիրիխլեի (1837) կողմից։

Ֆունկցիայի սահմանումը

Դիցուք տրված են X և Y ոչ դատարկ բազմությունները: Այնպիսի համապատասխանությունը, որի դեպքում X բազմության յուրաքանչյուր տարրի համապատասխանում է միայն մեկ տարր Y բազմությունից, անվանում են ֆունկցիա տրված (որոշված) X բազմության վրա, որի արժեքները ` բազմությունից են: Ֆունկցիան անվանում են թվային, եթե X և Y բազմությունների տարրերը թվեր են:

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Դիցուք X-ը որևէ թվային բազմություն է: Եթե այդ բազմության յուրաքանչյուր x թվի որոշակի f օրենքով համապատասխանության մեջ է դրվում ճիշտ մեկ y թիվ, ապա ասում են, որ X բազմության վրա տրված է y=f(x)ֆունկցիան:  
Ֆունկցիայի` y = f (x) գրելաձևում  x-ը և y-ը փոփոխականներ են, իսկ f տառը խորհրդանշւոմ է այն  կանոնը,  որով x փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքին  համապատասխանում է y փոփոխականի որոշակի արժեք:  x փոփոխականն անվանում են անկախ փո փոխական, իսկ y-ը` կախյալ փոփոխական(ֆունկցիայի արժեք): x փոփոխականն անվանում են նաև արգումենտ:
X բազմությունն անվանում են f ֆունկցիայի որոշման  տիրույթ և նշանակում` D (f),  իսկ արժեքների տիրույթը՝ E(f)-ով:

y=f(x) բանաձևում x-ը անկախ փոփոխականն է, կամ արգումենտը,  y-ը կախյալ փոփոխականն է, կամ ֆունկցիայի արժեքը x կետում,  f-ը կանոնն է, որով ամեն x արգումենտի համար գտնվում է ֆունկցիայի y արժեքը

Օրինակ

Ֆունկցիայի օրինակ է x և y փոփոխականների միջև y=2x առնչությունը: Այս դեպքում կանոնը հետևյալն է՝ ցանկացած x թիվ պետք է կրկնապատկել, ստացված կրկնապատիկ թիվը՝ y=2x-ը կլինի ֆունկցիայի արժեքը x կետում: Քանի որ ցանկացած թիվ կարելի է կրկնապատկել, ապա այս ֆունկցիան իմաստ ունի ցանկացած x-ի համար: Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը՝ X բազմությունը, ամբողջ թվային առանցքն է:Այս օրինակում ֆունկցիան տրվում է բանաձևի (y=2x) միջոցով: Գոյություն ունեն f օրենքը նկարագրելու (ֆունկցիայի տրման) այլ եղանակներ:  

Մոնոտոնություն

Աճող և նվազող (չաճող, չնվազող )ֆունկցիաներն ունեն ընդհանուր անվանում՝ մոնոտոն  (խիստ կամ ոչ խիստ) ֆունկցիաներ:

y=f(x) ֆունկցիան կոչվում է աճող X⊂D(f) բազմության վրա, եթե ցանկացած x1 և x2 թվերի համար X բազմությունից, այնպիսին, որ x1<x2, կատարվում է f(x1)<f(x2) անհավասարությունը: y=f(x) ֆունկցիան կոչվում է նվազող X⊂D(f) բազմության վրա, եթե ցանկացած x1 և x2 թվերի համար X բազմությունից, այնպիսին, որ x1<x2, կատարվում  f(x1)>f(x2) անհավասարությունը:

Այլ բառերով՝ ֆունկցիան աճում է, եթե արգումենտի մեծ արժեքին համապատասխանում է ֆունկցիայի մեծ արժեքը, և ֆունկցիան նվազում է, եթե արգումենտի մեծ արժեքին համապատասխանում է ֆունկցիայի փոքր արժեքը:

y=f(x) ֆունկցիան կոչվում է չնվազող բազմության վրա, եթե ցանկացած x1 և x2 թվերի համար X բազմությունից, այնպիսին, որ x1<x2, կատարվում է f(x1)≤f(x2) անհավասարությունը: y=f(x) ֆունկցիան կոչվում է չաճող X⊂D(f) բազմության վրա, եթե ցանկացած x1 և x2 թվերի համար X բազմությունից, այնպիսին, որ x1<x2, կատարվում f(x1)≥f(x2) անհավասարությունը:

տրման եղանակները

1. Գրաֆիկական եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է գրաֆիկի (դիագրամի, սյունապատկերի) միջոցով:Եթե ունենք y=f(x),x∈X ֆունկցիան, և xOy հարթության վրա նշված են (x;y) տեսքի բոլոր կետերը, որտեղ x∈X, և y=f(x), ապա այդ կետերի բազմությունը կոչվում է y=f(x),x∈X ֆունկցիայի գրաֆիկ:Օրինակy=kx՝ուղիղ գիծ:   

2. Անալիտիկ եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է բանաձևի միջոցով: y=x2y=|x| 

3. Աղյուսակային եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է աղյուսակի միջոցով: 

x	1	2	3	4
y	1	4	9	16

 4. Թվազույգերի եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է թվազույգերով՝ (1;2),(2;4),(3;6)

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

f ֆունկցիայի գրաֆիկ անվանում են կոորդինատային հարթության այն (x; y) կետերի բազմությունը, որոնց համար y = f(x):Որպեսզի կոորդինատային հարթության վրա գտնվող գիծը լինի որևէ ֆունկցիայի գրաֆիկ, անհրաժեշտ է, որ օրդինատների առանցքին զուգահեռ կամային ուղիղ կամ չհատվի այդ գծի հետ, կամ հատվի միայն  մի կետում: Եթե ֆունկցիայի գրաֆիկն առաջին և երկրորդ քառորդներում է, ապա ֆունկցիան միայն դրական արժեքներ է  ընդունում: Եթե ֆունկցիայի գրաֆիկն առաջին և չորրորդ քառորդներում է, ապա ֆունկցիան բացասական x-երի համար որոշված չէ:Ֆունկցիայի գրաֆիկի և աբսցիասների առանցքի հատման կետերը ցույց են տալիս, թե որ կետում է ֆունկցիան ընդունում 0 արժեքը, իսկ օրդինատների առանցքի հետ հատման կետը որոշվում է ֆունկցիայի՝ զրո կետում ընդունված արժեքով:

Օրինակ.

Դիցուք y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը՝ 

 Տեսնում ենք, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկի պրոյեկցիան օրդինատների առանցքի վրա [6;13] հատվածն է: Ուստի՝ E(f)=[6;13] Եթե դիտարկեինք տրված ֆունկցիայի գրաֆիկի պրոյեկցիան աբսցիսների առանցքի վրա, ապա կստանայինք նրա որոշման տիրույթը՝ D(f)=[2;12] —————————————————————————————

Աղբյուր

Ֆունկցիա (mathnet.am)

Урок 12. Функции и их свойства. Теория. Видеоурок. Алгебра 11 Класс (interneturok.ru)

Թվային ֆունկցիա, նրա որոշման տիրույթն ու արժեքների բազմությունը — դաս։ Հանրահաշիվ, 9-րդ դասարան

Ֆունկցիա

Функция в математике — определение, свойства и примеры с решением (evkova.org)

«Պի» թվի տոն։ «Ձոն». տեխնոլոգիական ստուգատեսի նախագիծ։

Պի թիվը մաթեմատիկական հաստատուն է, որը ցույց է տալիս շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին։

Առաջին անգամ հունարեն այբուբենի π տառով այս թիվը նշանակել է բրիտանացի մաթեմատիկոս Վիլյամ Ջոնսը 1706 թվականին, իսկ համընդհանուր օգտագործման այն դրվել է 1737 թվականին Լեոնարդ Էյլերի աշխատությունից հետո։Այս նշանակումը առաջացել է հունարեն՝ περιφέρεια (շրջանագիծ) և περίμετρος (պարագիծ) բառերի առաջին տառից։

Պի (π) թիվը երբեք չի կրկնվում և երբեք չի վերջանում, եթե գրված է տասնորդական տեսքով:Հին անվանումը՝ Լուդոլֆյան թիվ։

Ահա և հեշտ, և սիրով ուսանեցինք մի պիտանի խրթին թիվ։

Այլընտրանք՝ Ահա և հեշտ և սիրով սովորեցիր/սովորեցրի մի պիտանի խրթին թիվ։

Հատկություններ-

• -ն իռացիոնալ թիվ է, այսինքն՝ նրա արժեքը հնարավոր չէ ներկայացնել m/n կոտորակի տեսքով, որտեղ m-ը և n-ը ամբողջ թվեր են։  թվի իռացիոնալությունը առաջին անգամ ապացուցվել է Իոհան Լամբերտի կողմից 1761 թվականին։
• -ն  չի կարող լինել որևէ ամբողջ գործակիցներով բազմանդամի արմատ։ 1882 թվականին ապացուցվել է քյոնինգսբերգյան պրոֆեսորի կողմից, իսկ հետագայում մյունխենյան համալսարանից Ֆերդինանդ ֆոն Լինդեմանի կողմից։ Ապացույցը պարզեցրեց Ֆելիքս Կլեյնը 1894 թվականին։Այդ ապացույցը վերջ դրեց շրջանի քառակուսացուման վեճին, որը տևեց ավելի քան 2, 5 հազար տարի։
• -ն հանդիսանում է հաշվելի և թվաբանական թիվ)։

հետաքրքիր փաստ

Պի (π) թիվը ամենահայտնի և ամենախորհրդավոր մաթեմատիկական հաստատունն է, որը արտահայտում է շրջանագծի հարաբերությունը շրջանի տրամագծին:

Այն օգտագործում են համաշխարհային վիճակագրության, եղանակի կանխագուշակման և այնպիսի տեղեր, որտեղ պահանջվում է մեծ հաշվարկային հզորություն:

Այն երբեք չի կրկնվում և երբեք չի վերջանում, եթե այն գրված է տասնորդական տեսքով:

Հետաքրքիր է, որ հանրահայտ Քեոփսի բուրգը պի թվի «մարմնացումն է», քանի որ նրա բարձրության հարաբերակցությունը հիմքի պարագծին տալիս է պի թիվը։

Պի թվի օրը, որոշ մաթեմատիկոսներ տոնում են մարտի 14-ին, որը համընկնում է պի թվի առաջին երեք նիշի հետ։Տոնակատարության սկիզբը 1987 թվականին դրել է Սան Ֆրանցիսկոյում ապրող ֆիզիկոս Լարի Շոուն։ Հատկանշական է նաև այն, որ հենց այդ օրն է ծնվել Ալբերտ Այնշտայնը։ Պի թվի հետ է կապված նաև հուլիսի 22-ը՝ «Մոտավոր  թվի օրը, այն բանի շնորհիվ, որ ամսաթվերի եվրոպական ձևաչափով այդ օրը գրվում է 22/7, իսկ այդ տեսքով գրված կոտորակը համապատասխանում է -ի մոտավոր արժեքին։

Պի թվի օրը նաև այն օրն է, երբ 76 տարեկան հասակում մահացել է հայտնի ֆիզիկոս Սթիվեն Հոքինգը։

Տոնակատարության ժամանակ ձոն են կարդում  թվին, պատմում մարդկության կյանքում նրա դերի մասին։ Այդ օրը ուտում են կարկանդակ, օգտագործում են խմիչքներ և խաղում խաղեր, բոլորը  տառով սկսող։

π թվի երգը

ֆլեշմոբ (2-րդ մակարդակ)

1. Տեղափոխելով լուցկու մեկ հատիկ` ստացի՛ր ճիշտ հավասարություն:

5+5-9=1

2. Երկու թվերի տարբերությունը 90 է, դրանցից մեկը 4 անգամ մեծ է մյուսից։ Գտի՛ր այդ թվերը։
Պատասխան-30,120

3. Գտի՛ր այն բնական թվերի քանակը, որոնք 8-ի բաժանելիս քանորդում և մնացորդում նույն թիվն է ստացվում։
Պատասխան-7

4. 8 փուչիկ գնելու դեպքում Կարենին 200 դրամ պակասում է, իսկ 5 փուչիկ գնելու դեպքում 1000 դրամ ավելանում է։ Որքա՞ն պետք է վճարել 6 այդպիսի փուչիկի համար։
Պատասխան-2400 դրամ

5. Արշավի վեց մասնակիցներից քանի՞ ձևով կարող ենք ընտրել 1 առաջապահ և 1 հետապահ:
Պատասխան-

6. Տրված 6 քարտերը դասավորիր այնպես, որ ստանաս 5-ի պատիկ հնարավոր ամենամեծ թիվը, որի հազարավորների կարգում գրված թվանշանը 2 անգամ մեծ է տասնավորների կարգում գրված թվանշանից։

9681074325

7. 6 հատ երեքի և թվաբանական գործողությունների միջոցով ինչպես ստանալ ամենափոքր քառանիշ թիվը:
Պատասխան-(333*3)+(3:3)=1000

8. Խանութում կարտոֆիլը տեղավորեցին 5 կիլոգրամանոց և3 կիլոգրամանոց տոպրակների մեջ: Պարզվեց, որ բոլոր հինգ կիլոգրամանոց տոպրակները միասին նույն զանգվածն ունեն, ինչ բոլոր երեք կիլոգրամանոց տոպրակները միասին: Ամեն տեսակից քանի՞ տոպրակ կար, եթե տոպրակների ընդհանուր քանակը 24 է։
Պատասխան-3կգ-15 հ․,5կգ-9 հ․

9. Լուծելով թվաբանական ռեբուսը, նշի՛ր Ա, Բ, Գ տառերի փոխարեն թաքնված թվանշանները: ԱԲ+ԲԳ+ԳԱ=ԱԲԳ

214 f(x)=√x-1  g(x)=√3-x F=f+g={√ x-1+√3-x} D(F)={√ x-1+√3-x}⇔{ x≥1, x≤3}⇒ D(F)=[1;3] բ)F=f-g=√x-1-√3-x D(F)={√ x-1+√3-x}⇔{ x≥1, x≤3}⇒ D(F)=[1;3] գ)F=f*g=√ x-1*√3-x D(F)={√ x-1*√3-x}⇔{ x≥1, x<3}⇒ D(F)=[1;3] դ)F=f/g=√ x-1/√3-x D(F)={x-1≥0, 3-x≥0, 3-x≠0⇔{ x≥1, x<3}⇒D(F)=(1;3] 215   f(x)=1+x² g(x)=1/1-x F=fºg F=1+(1/1-x)²=(1-x)²+1/(1-x)²=1-2x+x²+1/(1-x)²=x²-2x+2/(1-x)²   

sina/2=+-√1- cos a/2

cosa/2=+-√1+cosa/2

tga/2=1-cosa/sina

tga/2=sina/1cosa